Ни мать, ни кто либо другой не может покаяться за грехи других людей. Рим.14:12. - "Итак каждый из нас за себя даст отчет Богу".
Пс.48:8-9. -"Человек никак не искупит брата своего и не даст Богу выкупа за него. Дорога цена искупления души их, и не будет того вовек."

Если человек не идет к Богу, то единственный способ вмешаться, это молиться за него. Святая Моника, мать блаженного Августина, молилась за сына более 10 лет, и когда она уже начала отчаиваться, один старец сказал ей, что сын стольких молитв не может погибнуть. И в самом деле, через несколько лет Августин окончательно пришел к Богу, хотя этот путь был очень непростой.

Помогать просящему надо не спрашивая, но если человек сам говорит, что деньги ему нужны на спиртное, я думаю - не стоит помогать ему в этом. Лично я так поступаю, если человек не говорит на какие нужды ему нужны деньги, я не спрашиваю, и по возможности помогаю. Если говорит что на водку, - не даю. Если просят на хлеб, я просто покупаю хлеб или продукты и даю.

Может ли, например, мать покаяться за грехи своих детей?

Скорее она должна покаяться за свои огрехи в воспитании своих детей.